已知f（x）=xlnx，g(x)=12x2-x+a．（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞g′(x)+1ex-2e成立-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=xlnx，g(x)=12x2-x+a．（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知f（x）=xlnx，g(x)=

1

2

x2-x+a．
（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞

g′(x)+1

ex

-

2

e

成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=2时，g（x）=

1

2

(x-1)2+

3

2

，x∈[0，3]，
当x=1时，gmin(x)=g(1)=

3

2

；当x=3时，gmax(x)=g(3)=

7

2

，
故g（x）值域为[

3

2

，

7

2

]．
（2）f'（x）=lnx+1，当x∈(0，

1

e

)，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈(

1

e

，+∞)，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
①若 0＜t＜t+2＜

1

e

，t无解；
②若 0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

时，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
③若

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
所以 f（x）_min=

-

1

e

， 0＜t＜

1

e

tlnt ， t≥

1

e

．
（3）证明：令 h（x）=

g′(x)+1

ex

-

2

e

=

x

ex

-

2

e

，h′（x）=

1-x

ex

，
当 0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．当1＜x时． h′（x）＜0，h（x）是减函数，
故h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=-

1

e

．
而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为-

1

e

，
且当h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）时，f（x）的值为ln1=0，
故在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即 xlnx＞

g′(x)+1

ex

-

2

e

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=xlnx，g(x)=12x2-x+a．（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：