函数f（x）=ax3+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行，导函数f′（x）的最小值为-12．（1）求a、b的值；（2）讨论方程f（x）=m解的情况（相同根算一根）．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=ax3+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

函数f（x）=ax³+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行，导函数f′（x）的最小值为-12．
（1）求a、b的值；
（2）讨论方程f（x）=m解的情况（相同根算一根）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′（x）=3ax²+b的最小值为-12
∴b=-12，且a＞0
又直线6x+y+7=0的斜率为-6
∵函数f（x）=ax³+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行
∴f'（1）=3a+b=-6
∴a=2
∴a=2，b=-12
（2）由（1）知f（x）=2x³-12x，f′(x)=6x2-12=6(x+

2

)(x-

2

)，列表如下：

x

（-∞，-

2

）

-

2

(-

2

，

2

)

2

(

2

，+∞)

f′

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以，函数f（x）的单调增区间是（-∞，-

2

）和(

2

，+∞)
∴f（x）在x=-

2

时取得极大值为f(-

2

)=8

2

，f（x）在x=

2

时取得极小值为f(

2

)=-8

2

∴当m＞8

2

或m＜-8

2

时，方程有一根；
当m=8

2

或m=-8

2

时，方程有两个根；
当-8

2

＜m＜8

2

时，方程有三个根

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=ax3+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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