已知x1，x2是函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0）的两个零点，函数f（x）的最小值为-a，记P={x|f（x）＜0，x∈R}（ⅰ）试探求x1，x2之间的等量关系（不含a，b）；（ⅱ）当且仅当a在什么范围内，-数学试题及答案

1、试题题目：已知x1，x2是函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0）的两个零..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知x₁，x₂是函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R，a＞0）的两个零点，函数f（x）的最小值为-a，记P={x|f（x）＜0，x∈R}
（ⅰ）试探求x₁，x₂之间的等量关系（不含a，b）；
（ⅱ）当且仅当a在什么范围内，函数g（x）=f（x）+2x（x∈P）存在最小值？
（ⅲ）若x₁∈（-2，2），试确定b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可得

4ac-b2

4a

=-a即b²-4ac=4a²，所以x1，2=

-b±

4a2

2a

=

-b±2a

2a

所以|x₁-x₂|=2…5'
（2）由f（x）＜0得

-b-2a

2a

＜x＜

-b+2a

2a

，g（x）=ax²+（b+2）x+1，对称轴为x°=-

b+2

2a

从而有

-b-2a

2a

＜-

b+2

2a

＜

-b+2a

2a

，故有a＞1…8'
（3）x1，2=

-b±2a

2a

∈（-2，2），从而有-2＜

-b-2a

2a

＜2，-2＜

-b+2a

2a

＜2…10'
所以-1＜

-b

2a

＜3或-3＜

-b

2a

＜1从而有-3＜

-b

2a

＜3，|b|＜6a，b²＜36a²，
因为b²=4a+4a²，所以4a+4a²＜36a²，a＞

1

8

，b²=4a+4a²＞4(

1

8

+

1

64

)=

9

16

所以b的取值范围为(-∞，-

3

4

)∪(

3

4

，+∞)…16'

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知x1，x2是函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a＞0）的两个零..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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