设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=-12对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设f（x）=2x³+ax²+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=-

1

2

对称，且f′（1）=0
（Ⅰ）求实数a，b的值
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

试题来源：重庆试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因f（x）=2x³+ax²+bx+1，故f′（x）=6x²+2ax+b
从而f′（x）=6(x+

a

6

)2+b-

a2

6

，即y=f′（x）关于直线x=-

a

6

对称，
从而由条件可知-

a

6

=-

1

2

，解得a=3
又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=-12
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³+3x²-12x+1
f′（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2）
令f′（x）=0，得x=1或x=-2
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-2）上是增函数；
当x∈（-2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（-2，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
从而f（x）在x=-2处取到极大值f（-2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=-6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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