已知二次函数f（x）=ax2+bx满足f（x-1）=f（x）+x-1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的零点，并写出f（x）＜0时，x取值的集合；（Ⅲ）设F（x）=4f（ax）+3a2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx满足f（x-1）=f（x）+x-1．（Ⅰ）求f（x）的解析式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足f（x-1）=f（x）+x-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点，并写出f（x）＜0时，x取值的集合；
（Ⅲ）设F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大值14，试求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=ax²+bx满足f（x-1）=f（x）+x-1，∴a（x-1）²+b（x-1）=ax²+bx+x-1，即ax²-（2a-b）x+a-b=ax²+（b+1）x-1，∴

-(2a-b)=b+1

a-b=-1

，解得a=-

1

2

，b=

1

2

．∴f(x)=-

1

2

x2+

1

2

x．…（5分）
（ II）由f（x）=0得函数的零点为0，1．
又函数f（x）的图象是开口向下的抛物线，∴f（x）＜0时x＞1或x＜0．
∴x取值的集合为{x|x＞1或x＜0}．…（9分）
（ III）由F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a^2x+2a^x-1．
①当a＞1时，令u=a^x，∵x∈[-1，1]，∴u∈[

1

a

，a]，令g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[

1

a

，a]．∵对称轴u=-1，∴g（u）在[

1

a

，a]上是增函数．∴gmax(u)=g(a)=a2+2a-1=14，∴a²+2a-15=0，∴a=3，a=-5（舍）．
②当0＜a＜1时，令u=a^x，∵x∈[-1，1]∴u∈[a，

1

a

]∴g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[a，

1

a

]，∵对称轴u=-1，∴g（u）在[a，

1

a

]上是增函数．∴gmax(u)=g(

1

a

)=(

1

a

)2+

2

a

-1=14，∴

1

a

=3，

1

a

=-5（舍），∴a=

1

3

．
综上a=

1

3

或a=3．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx满足f（x-1）=f（x）+x-1．（Ⅰ）求f（x）的解析式..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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