已知f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）当a=-1，b=2，c=4时，求f（x）≤1的解集；（Ⅱ）当f（1）=f（3）=0，且当x∈（1，3）时，f（x）≤1恒成立，求实数a的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）当a=-1，b=2，c=4时，求f（x）≤1的解集；（Ⅱ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）当a=-1，b=2，c=4时，求f（x）≤1的解集；
（Ⅱ）当f（1）=f（3）=0，且当x∈（1，3）时，f（x）≤1恒成立，求实数a的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=-1，b=2，c=4时，f（x）=-x²+2x+4，
则f（x）≤1即x²-2x-3≥0，
∴（x-3）（x+1）≥0，解得x≤-1，或x≥3．
所以不等式f（x）≤1的解集为{x|x≤-1，或x≥3}；
（Ⅱ）因为f（1）=f（3）=0，
所以f（x）=a（x-1）（x-3），f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立，即-a≤

1

(x-1)(3-x)

在x∈（1，3）恒成立，
而0＜(x-1)(3-x)≤[

(x-1)+(3-x)

2

]2=1，当且仅当x-1=3-x，即x=2时取到等号．
∴

1

(x-1)(3-x)

≥1，
所以-a≤1，即a≥-1．
所以a的最小值是-1；
（Ⅱ）或f（x）=a（x-1）（x-3）≤1在x∈（1，3）恒成立，
即a（x-1）（x-3）-1≤0在x∈（1，3）恒成立．
令g（x）=a（x-1）（x-3）-1=ax²-4ax+3a-1=a（x-2）²-a-1．
①当a=0时，g（x）=-1＜0在x∈（1，3）上恒成立，符合；
②当a＞0时，易知在x∈（1，3）上恒成立，符合；
③当a＜0时，则-a-1≤0，所以-1≤a＜0．
综上所述，a≥-1
所以a的最小值是-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）当a=-1，b=2，c=4时，求f（x）≤1的解集；（Ⅱ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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