已知数列{an}满足a1=a（a≠0，且a≠1），其前n项和Sn=a1-a（1-an）（1）求证：{an}为等比数列；（2）记bn=anlg|an|（n∈N*），Tn为数列{bn}的前n项和，那么：①当a=2时，求Tn；②当a=-73时，是-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=a（a≠0，且a≠1），其前n项和Sn=a1-a（1-an）（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=a（a≠0，且a≠1），其前n项和S_n=

a

1-a

（1-a_n）
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）记b_n=a_nlg|a_n|（n∈N^*），T_n为数列{b_n}的前n项和，那么：
①当a=2时，求T_n；
②当a=-

7

3

时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有b_n≥b_m．如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

试题来源：西城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

a

1-a

（1-a_n-1），
整理得：

an

an-1

=a，
所以{a_n}是公比为a的等比数列；
（2）∵a₁=a，∴a_n=aⁿ（n∈N^*），
∴b_n=a_nlg|a_n|=aⁿlg|aⁿ|=naⁿlg|a|（n∈N^*），
①当a=2时，T_n=（2+2?2²++n?2ⁿ）lg2，2T_n=[2²+2?2³++（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹]lg2，
两式相减得：-T_n=（2+2²+2³++2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹）lg2，
②∵-1＜a＜1，∴当n为偶数时，b_n=naⁿlg|a|＞0；当n为奇数时，b_n=naⁿlg|a|＜0，
如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数，
又b_2k+2-b_2k=2a^2k（a²-1）（k-

a2

1-a2

）lg|a|，其中k∈N^*，
当a=-

7

3

时，a²-1=

2

9

，
∴2a^2k（a²-1）lg|a|＞0，又

a2

1-a2

=

7

2

，
∴当k＞

7

2

时，b_2k+2＞b_2k，即b_g＜b₁₀＜b₁₂；
当k＜

7

2

时，b_2k+2＜b_2k，即b₈＜b₆＜b₄＜b₂，
故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有b_n≥b_m．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=a（a≠0，且a≠1），其前n项和Sn=a1-a（1-an）（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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