已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+1=4an-3an-1(n∈N*且n≥2)．（Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Sn，且对一切n∈N*，都有b1a-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+1=4an-3an-1(n∈N*且n≥2)．（Ⅰ）证明..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，an+1=4an-3an-1(n∈N*且n≥2)．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且对一切n∈N^*，都有

b1

a1

+

b2

2a2

+…+

bn

nan

=2n+1成立，求S_n．

试题来源：黄山模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：由a_n+1=4a_n-3a_n-1可得a_n+1-a_n=3（a_n-a_n-1）
所以数列{a_n+1-a_n}是以2为首项，3为公比的等比数列 …（3分）
故有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=

2(1-3n-1)

1-3

+1=3n-1…（6分）
（II）由

b1

a1

+

b2

2a2

+…+

bn

nan

=2n+1可知
当n=1时，

b1

a1

=3，b₁=3，S₁=3
当n≥2时，

bn

nan

=2n+1-(2n-1)=2，bn=2n×3n-1…（8分）Sn=b1+b2+…+bn=3+2×2×3+2×3×32+…2×n×3n-1
=2（1×3⁰+2×3¹+3×3²+…n×3^n-1）+1
设x=1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-13x=1×3¹+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ∴2x=n×3ⁿ-（3^n-1+3^n-2+…3⁰）=n×3n-

3n-1

2

Sn=(n-

1

2

)×3n+

3

2

…（11分）
综上Sn=(n-

1

2

)×3n+

3

2

，n∈N*…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+1=4an-3an-1(n∈N*且n≥2)．（Ⅰ）证明..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：