已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．（Ⅰ）用xn表示xn+1；（Ⅱ）若x1=4，记an=lgxn+2xn-2，证明数列{an}成等比-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁为正实数．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）若x₁=4，记an=lg

xn+2

xn-2

，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）若x₁=4，b_n=x_n-2，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明T_n＜3．

试题来源：四川试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题可得f′（x）=2x．
所以曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线方程是：y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n）．
即y-（x_n²-4）=2x_n（x-x_n）．
令y=0，得-（x_n²-4）=2x_n（x_n+1-x_n）．
即x_n²+4=2x_nx_n+1．
显然x_n≠0，∴xn+1=

xn

2

+

2

xn

．

（Ⅱ）由xn+1=

xn

2

+

2

xn

，知xn+1+2=

xn

2

+

2

xn

+2=

(xn+2)2

2xn

，
同理xn+1-2=

(xn-2)2

2xn

，故

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2．
从而lg

xn+1+2

xn+1-2

=2lg

xn+2

xn-2

，即a_n+1=2a_n．所以，数列{a_n}成等比数列．
故an=2n-1a1=2n-1lg

x1+2

x1-2

=2n-1lg3．
即lg

xn+2

xn-2

=2n-1lg3．
从而

xn+2

xn-2

=32n-1
所以xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

（Ⅲ）由（Ⅱ）知xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

，
∴bn=xn-2=

4

32n-1-1

＞0
∴

bn+1

bn

=

32n-1-1

32n-1

=

1

32n-1+1

＜

1

32n-1

≤

1

321-1

=

1

3

当n=1时，显然T₁=b₁=2＜3．
当n＞1时，bn＜

1

3

bn-1＜(

1

3

)2bn-2＜＜(

1

3

)n-1b1
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n＜b1+

1

3

b1+…+(

1

3

)n-1b1=

b1[1-(

1

3

)n]

1-

1

3

=3-3?(

1

3

)n＜3．
综上，T_n＜3（n∈N*）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：