已知x1=13，xn+1=x2n+xn-a．（n∈N*，a为常数）（1）若a=14，求证：数列{lg(xn+12)}是等比数列；（2）在（1）条件下，求证：xn≤(56)n-12，(n∈N*)．-数学试题及答案

1、试题题目：已知x1=13，xn+1=x2n+xn-a．（n∈N*，a为常数）（1）若a=14，求证：数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知x1=

1

3

，xn+1=

x

2n

+xn-a．（n∈N^*，a为常数）
（1）若a=

1

4

，求证：数列{lg(xn+

1

2

)}是等比数列；
（2）在（1）条件下，求证：xn≤(

5

6

)n-

1

2

，(n∈N*)．

试题来源：揭阳一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵xn+1=

x

2n

+xn-

1

4

，
∴xn+1+

1

2

=xn2+xn+

1

4

=(xn+

1

2

)2，（1分）
∵x1=

1

3

∴xn+

1

2

＞0，则 lg(xn+1+

1

2

)=2lg(xn+

1

2

)，（3分）
∴数列{lg(xn+

1

2

)}是以lg

5

6

为首项，以2为公比的等比数列，（4分）
（2）由（1）知lg(xn+

1

2

)=(lg

5

6

)?2n-1，化简得xn+

1

2

=(

5

6

)2n-1
∵0＜

5

6

＜1，∴要证(

5

6

)n-

1

2

≥xn，只需证2ⁿ≥2n，（8分）
证法一：当n=1或2时，有2ⁿ=n，
当n≥3时，2n=(1+1)n=1+

C

1n

+

C

2n

+…+

C

nn

≥1+n+

n(n-1)

2

≥1+2n＞2n，（10分）
∴2ⁿ≥2n对n∈N^*都成立，n=1
∴xn≤(

5

6

)n-

1

2

，，(n∈N*)．（12分）
证法二：用数学归纳法证明，
①当时，结论显然成立；n=k+1，（9分）
②假设当n=k（k≥1）时结论成立，即2^k≥2k，
当n=k+1时，2^k+{x_{n+1}}=x_n^2+{x_n}={x_n}（{x_n}+1）1=2?2^k≥2?2k＞2（k+1），

1

xn+1

=

1

xn(xn+1)

=

1

xn

-

1

xn+1

1

xn+1

=

1

xn

-

1

xn+1

，（10分）
∴当时结论也成立
综合①、②知xn≤(

5

6

)n-

1

2

，对n∈N^*都成立．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知x1=13，xn+1=x2n+xn-a．（n∈N*，a为常数）（1）若a=14，求证：数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：