已知数列{an}的前n项和Sn，且an=12(3n+Sn)对一切正整数n恒成立．（1）证明数列{an+3}为等比数列；（2）数列{an}是否存在三项构成等差数列？若存在，求出一组；若不存在，请说明理由-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn，且an=12(3n+Sn)对一切正整数n恒成立．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且an=

1

2

(3n+Sn)对一切正整数n恒成立．
（1）证明数列{a_n+3}为等比数列；
（2）数列{a_n}是否存在三项构成等差数列？若存在，求出一组；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵且an=

1

2

(3n+Sn)对一切正整数n恒成立，
即2a_n=3n+S_n…①对一切正整数n恒成立．
∴2a_n+1=3（n+1）+s_n+1…②
②-①得：2a_n+1-2a_n=3+s_n+1-s_n，
∴3a_n+1-2a_n=3
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
又a₁+3=6＞0，所以a₂+3=2（a₁+3）＞0，由此类推an+3＞0
所以

an+1+3

an+3

=2
所以数列{a_n+3}是以a₁+3=6为首项，以2为公比的等比数列．
（2）假设数列{a_n}中存在这样的三项满足其条件，且这三项分别为数列{a_n}的第x，y，z项．
由（1）知数列{a_n+3}是以a₁+3=6为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+3=6×2^n-1，
∴a_n=3×2ⁿ-3
又第x，y，z项构成等差数列，
∴2（3×2^y-3）=3×2^x-3+3×2^z-3
∴2^y+1=2^x+2^z
∴2^y+1-x=1+2^z-x
又x、y、z都是整数，
等式左边是偶数，右边是奇数，
∴这样的x、y、z是不存在的．
即数列{an}中不存在有三项，使它们可以构成等差数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn，且an=12(3n+Sn)对一切正整数n恒成立．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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