已知数列{an}中，a1=56且对任意非零自然数n都有an+1=13an+（12）n+1．数列{bn}对任意非零自然数n都有bn=an+1-12an．（1）求证：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=56且对任意非零自然数n都有an+1=13an+（12）n+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=

5

6

且对任意非零自然数n都有a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹．数列{b_n}对任意非零自然数n都有b_n=a_n+1-

1

2

a_n．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：b_n=a_n+1-

1

2

a_n=[

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹]-

1

2

a_n=（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

6

a_n，b_n+1=（

1

2

）ⁿ⁺²-

1

6

a_n+1=（

1

2

）ⁿ⁺²-

1

6

[

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹]=

1

2

?（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

18

a_n-

1

6

?（

1

2

）ⁿ⁺¹=

1

3

?（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

18

a_n=

1

3

?[（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

6

a_n]，
∴

bn+1

bn

=

1

3

（n=1，2，3，…）．
∴{b_n}是公比为

1

3

的等比数列．
（2）∵b₁=（

1

2

）²-

1

6

a₁=

1

4

-

1

6

?

5

6

=

1

9

，
∴b_n=

1

9

?（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ⁺¹．
由b_n=（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

6

a_n，得（

1

3

）ⁿ⁺¹=（

1

2

）ⁿ⁺¹-

1

6

a_n，解得a_n=6[（

1

2

）ⁿ⁺¹-（

1

3

）ⁿ⁺¹]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=56且对任意非零自然数n都有an+1=13an+（12）n+..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：