已知一非零向量列{an}满足：a1=（1，1），an=（xn，yn）=12(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)（1）证明：{|an|}是等比数列；（2）设θn=＜an-1，an＞（n≥2），bn=2nθn-1，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn；（-数学试题及答案

1、试题题目：已知一非零向量列{an}满足：a1=（1，1），an=（xn，yn）=12(xn-1-yn-1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知一非零向量列{a_n}满足：a₁=（1，1），a_n=（x_n，y_n）=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)
（1）证明：{|a_n|}是等比数列；
（2）设θ_n=＜a _n-1，a_n＞（n≥2），b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）设c_n=|a_n|log₂|a_n|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

试题来源：成都一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（l）证明：|

an

|=

1

2

(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=

2

xn-12+yn-12

=

2

|

an-1

|（n≥2）又|

a1

|=

2

∴数列|

an

|是以

2

为首项，公比为

2

的等比数列．…（4分）
（2）∵

an-1

?an

=(xn-1，yn-1) ?

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)=

1

2

(xn-12+yn-12)=

1

2

|

an-1

|²∴cosθ_n=

an-1

?an

|an-1|

?|an|

=

2

，∴θ_n=

π

4

，∴b_n=2nθ_n-1=

nπ

2

-1．
Sn=b₁+b₂+…+b_n=(

π

2

-1)+ (

2π

2

-1)+…(

nπ

2

-1)=

π

4

(n2+n)-n…（8分）
（3）假设存在最小项，不防设为cn，∵|

an

|=

2

(

2

)n-1=2

2-n

2

，
∴c_n=|a_n|log₂|a_n|=

2-n

2

?2

2-n

2

，由c_n≤c_n+1 得

2-n

2

?2

2-n

2

≤

1-n

2

?2

1-n

2

即

2

（2-n）≤1-n，∴（

2

-1）n≥2

2

-1．
∴n≥

2

-1

2

-1

=3+

2

，∵n为正整数，∴n≥5．
由c_n≤c_n-1 得n≤4+

2

，n≤5．，∴n=5
故存在最小项，最小项为c₅=-

3

2

?2-

3

2

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知一非零向量列{an}满足：a1=（1，1），an=（xn，yn）=12(xn-1-yn-1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：