在数列{an}中，a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*（I）证明数列{an-n}是等比数列；（II）设bn=an2n，求数列{bn}的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*（I）证明数列{an-n}是等比..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

在数列{an}中，a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*
（I）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（II）设bn=

an

2n

，求数列{bn}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题设a_n+1=2a_n-n+1，可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}首项为1，公比为2的等比数列；
（II）由（I）可知a_n-n=2^n-1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1+n，
所以数列b_n=

an

2n

=

1

2

+n(

1

2

)n，
所以S_n=

n

2

+[1?

1

2

+2?

1

22

+3?

1

23

+…+（n-1）

1

2n-1

+n

1

2n

]，
设T_n=1?

1

2

+2?

1

22

+3?

1

23

+…+（n-1）

1

2n-1

+n

1

2n

①
所以

1

2

T_n=1?

1

22

+2?

1

23

+3?

1

24

+…+（n-1）

1

2n

+n

1

2n+1

②
①-②可得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n

1

2n+1

=

1

2

(1-

1

2n

)

1-

1

2

-n

1

2n+1

=1-

1

2n

-n

1

2n+1

=1-

n+2

2n+1

，
故T_n=2-

n+2

2n

，故S_n=

n

2

+2-

n+2

2n

=

n+4

2

-

n+2

2n

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*（I）证明数列{an-n}是等比..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：