在数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn=bnan(n∈N*)．（Ⅰ）数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论；（Ⅱ）设数列{lnan}，{lnbn}的前n项和分别为Sn，Tn．若a1=2，SnTn=n2n+1-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn=bnan(n∈N*)．（Ⅰ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}，{b_n}是各项均为正数的等比数列，设cn=

bn

an

(n∈N*)．
（Ⅰ）数列{c_n}是否为等比数列？证明你的结论；
（Ⅱ）设数列{lna_n}，{lnb_n}的前n项和分别为S_n，T_n．若a₁=2，

Sn

Tn

=

n

2n+1

，求数列{c_n}的前n项和．

试题来源：辽宁试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）{c_n}是等比数列．
证明：设{a_n}的公比为q₁（q₁＞0），{b_n}的公比为q₂（q₂＞0），
则

cn+1

cn

=

bn+1

an+1

?

an

bn

=

bn+1

bn

?

an

an+1

=

q2

q1

≠0，故{c_n}为等比数列．
（Ⅱ）数列{lna_n}和{lnb_n}分别是公差为lnq₁和lnq₂的等差数列．
由条件得

nlna1+

n(n-1)

2

lnq1

nlnb1+

n(n-1)

2

lnq2

=

n

2n+1

，即

2lna1+(n-1)lnq1

2lnb1+(n-1)lnq2

=

n

2n+1

．
故对n=1，可得

lna1

lnb1

=

1

3

，又a₁=2，可得b₁=8，
于是

2lna1+(n-1)lnq1

2lnb1+(n-1)lnq2

=

n

2n+1

可变为
（2lnq₁-lnq₂）n²+（4lna₁-lnq₁-2lnb₁+lnq₂）n+（2lna₁-lnq₁）=0对任意的正整数n恒成立
于是

2lnq1-lnq2=0

4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2=0

2lna1-lnq1=0.

将a₁=2代入得q₁=4，q₂=16，b₁=8．
从而有cn=

8?16n-1

2?4n-1

=4n．所以数列{c_n}的前n项和为4+42++4n=

4

3

(4n-1)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}，{bn}是各项均为正数的等比数列，设cn=bnan(n∈N*)．（Ⅰ..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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