已知递增数列{an}满足：a1=1，2an+1=an+an+2（n∈N+），且a1，a2，a4成等比数列（1）求数列{an}的通项公式an．（2）若数列{bn}满足：bn+1=bn2-（n-2）bn+3，且b1≥1，n∈N+①用数学归纳法证-数学试题及答案

1、试题题目：已知递增数列{an}满足：a1=1，2an+1=an+an+2（n∈N+），且a1，a2，a4..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知递增数列{a_n}满足：a₁=1，2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺），且a₁，a₂，a₄成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）若数列{b_n}满足：b_n+1=b_n²-（n-2）b_n+3，且b₁≥1，n∈N⁺
①用数学归纳法证明：b_n≥a_n
②记Tn=

1

3+b1

+

1

3+b2

+

1

3+b3

+…+

1

3+bn

，证明：Tn＜

1

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a₁=1，2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺）
∴数列{a_n}是以1为首项的等差数列，设公差为d，由数列递增可知d＞0
∵a₁，a₂，a₄成等比数
∴（1+d）²=1+3d
∴d=0（舍）或d=1
∴a_n=1+n-1=n
证明：（2）①∵b_n+1=b_n²-（n-2）b_n+3，且b₁≥1，
（i）当n=1时，b₁≥1=a₁成立
（ii）假设当n=k（k≥1）时成立，即b_k≥a_k=k
∴b_k+1≥k+1=a_k+1
当n=k+1时，b_k+1=bk2-（k-2）b_k+3，
∴b_k+1-a_k+1=b_k+1-（b_k+1）=bk2-(k-1)bk+2＞k²-k（k-1）+2＞0
∴b_k+1≥a_k+1
综上可证得，对于任意的正整数n，b_n≥a_n都成立
②∵b_n+1=b_n²-（n-2）b_n+3，∴

1

3+bn+3

=

1

bn2-(n-2)bn+6

，
b_n²-（n-2）b_n+6=b_n（b_n+2-n）+6≥2b_n+6=2（b_n+3），（∵bn≥n）
∴

1

bn+1+3

≤

1

2

?

1

bn+3

，
∴Tn=

1

3+b1

+

1

3+b2

+

1

3+b3

+…+

1

3+bn

≤

1

3+b1

+

1

2

?

1

3+b1

+

1

2

?

1

3+b2

+…+

1

2

?

1

3+bn-1

…①
∴-

1

2

Tn=-

1

2

?

1

3+b1

-

1

2

?

1

3+b2

-

1

2

?

1

3+b3

-…-

1

2

?

1

3+bn

…②，
①+②可得

1

2

?Tn≤

1

3+b1

-

1

2

?

1

3+bn-1

，

1

2

?Tn≤

1

3+b1

≤

1

4

，
∴Tn≤

1

2

．
∴Tn=

1

3+b1

+

1

3+b2

+

1

3+b3

+…+

1

3+bn

＜

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知递增数列{an}满足：a1=1，2an+1=an+an+2（n∈N+），且a1，a2，a4..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：