已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=an+1-3n-1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列an+3是等比数列；（Ⅱ）对k∈N*，设f(n)=Sn-an+3nn=2k-1log2(an+3)n=2k.求使不等式cos（mπ）[f（2m2）-f（m）]≤0成立-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=an+1-3n-1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列a_n的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=a_n+1-3n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列a_n+3是等比数列；
（Ⅱ）对k∈N^*，设f(n)=

Sn-an+3n n=2k-1

log2(an+3) n=2k.

求使不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立的正整数m的取值范围．．

试题来源：黄冈模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由S_n=a&_n+1-3n-1，则S_n-1=a_n-3（n-1）-1，n≥2．
两式相减得a_n+1=2a_n+3，n≥2．
即

an+1+3

an+3

=2， n≥2．（2分）
又n=1时，a2=5，

a2+3

a1+3

=2．
∴数列a_n+3是首项为4，公比为2的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（I）知a_n+3=4?2^n-1=2ⁿ⁺¹，S_n=a_n+1-3n-1=2ⁿ⁺²-3n-4．
∴f(n)=

2n+1-1 n=2k-1

n+1 n=2k.

（5分）
①当m为偶数时，cos（mπ）=1，f（2m²）=2m²+1，f（m）=m+1，
∴原不等式可化为（2m²+1）-（m+1）≤0，
即2m²-m≤0．
故不存在合条件的m．（7分）
②当m为奇数时，cos（mπ）=-1，f（2m²）=2m²+1，f（m）=2^m+1-1．
原不等式可化为2m²+1≥2^m+1-1．
当m=1或3时，不等式成立．（9分）
当m≥5时，2^m+1-1=2（1+1）^m-1=2（C_m⁰+C_m¹+C_m²++C_m^m-2+C_m^m-1+C_m^m）-1≥2m²+2m+3＞2m²+1．
∴m≥5时，原不等式无解．（11分）
综合得：当m∈{1，3}时，不等式cos（mπ）[f（2m²）-f（m）]≤0成立．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn=an+1-3n-1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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