已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，都有an=23（Sn+n）．（1）求证：数列{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式．（2）求数列{nan}的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，都有an=23（Sn+n）．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，都有a_n=

2

3

（S_n+n）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求{a_n}的通项公式．
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n．

试题来源：惠州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵对任意n∈N^*，都有a_n=

2

3

（S_n+n），且S₁=a₁，
∴a₁=

2

3

（S₁+1）=

2

3

（a₁+1），得a₁=2…1分
又由a_n=

2

3

（S_n+n），得S_n=

3

2

a_n-n，
当n≥2且n∈N^*时，有a_n=S_n-S_n-1=（

3

2

a_n-n）-[

3

2

a_n-1-（n-1）]=

3

2

a_n-

3

2

a_n-1-1，…3分
即a_n-3a_n-1=2，
∴a_n+1=3（a_n-1+1），由此表明{a_n+1}是以a₁+1=3为首项，3为公比的等比数列．
∴a_n+1=3?3^n-1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1…5分
故数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ-1…6分
（2）na_n=n（3ⁿ-1）=n?3ⁿ-n，设数列{n?3ⁿ}的前n项和为K_n，
则K_n=1?3¹+2?3²+3?3³+…+n?3ⁿ…8分
∴3K_n=1?3²+2?3³+3?3⁴+…+n?3ⁿ⁺¹，
两式相减，得
-2K_n=3¹+3²+3³+…+3ⁿ-n?3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n?3ⁿ⁺¹…10分
∴K_n=

(2n-1)?3n+1+3

4

…12分
因此T_n=K_n-

n(n+1)

2

=

(2n-1)?3n+1-2n(n+1)+3

4

…14分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，都有an=23（Sn+n）．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：