在数列an中，a1=1，2an+1=(1+1n)2?an．（Ⅰ）证明数列{ann2}是等比数列，并求数列an的通项公式；（Ⅱ）令bn=an+1-12an，求数列bn的前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列an中，a1=1，2an+1=(1+1n)2?an．（Ⅰ）证明数列{ann2}是等比数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

在数列a_n中，a₁=1，2an+1=(1+

1

n

)2?an．
（Ⅰ）证明数列{

an

n2

}是等比数列，并求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）令bn=an+1-

1

2

an，求数列b_n的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由条件得

an+1

(n+1)2

=

1

2

?

an

n2

，（2分）
又n=1时，

an

n2

=1，（3分）
故数列{

an

n2

}构成首项为1，公式为

1

2

的等比数列．（4分）
从而

an

n2

=

1

2n-1

，即an=

n2

2n-1

．（6分）
（Ⅱ）由bn=

(n+1)2

2n

-

n2

2n

=

2n+1

2n

（8分）
得Sn=

3

2

+

5

22

+… +

2n+1

2n

?

1

2

Sn=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

，
两式相减得：

1

2

Sn=

3

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n+1

，（10分）
所以Sn=5-

2n+5

2n

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列an中，a1=1，2an+1=(1+1n)2?an．（Ⅰ）证明数列{ann2}是等比数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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