已知点（x，y）是区域x+2y≤2nx≥0y≥0，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作zn．若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且点（Sn，an）在直线zn=x+y上．（Ⅰ）证明：数列{an-2}为等比数-数学试题及答案

1、试题题目：已知点（x，y）是区域x+2y≤2nx≥0y≥0，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知点（x，y）是区域

x+2y≤2n

x≥0

y≥0

，（n∈N^*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z_n．若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且点（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{S_n}的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：由已知当直线过点（2n，0）时，目标函数取得最大值，故z_n=2n
∴方程为x+y=2n
∵（S_n，a_n）在直线z_n=x+y上，∴S_n+a_n=2n①
∴S_n-1+a_n-1=2（n-1），n≥2②
由①-②得，2a_n-a_n-1=2，n≥2∴2a_n=a_n-1+2，n≥2，
∴2（a_n-2）=a_n-1-2，n≥2
∵a₁-2=-1，
∴数列{a_n-2}以-1为首项，

1

2

为公比的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an-2=-(

1

2

)n-1，∴an=2-(

1

2

)n-1
∵S_n+a_n=2n，
∴Sn=2n-an=2n-2+(

1

2

)n-1
∴Tn=[0+(

1

2

)0]+[2+(

1

2

)]+…+[2n-2+(

1

2

)n-1]

=[0+2+…+(2n-2)]+[(

1

2

)0+(

1

2

)+…+(

1

2

)n-1]

=

n(2n-2)

2

+

1-(

1

2

)n

1-

1

2

=n2-n+2-(

1

2

)n-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点（x，y）是区域x+2y≤2nx≥0y≥0，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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