已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），数列{an}是各项均不为0的等差数列，点（an+1，S2n-1）在函数f（x）的图象上；数列{bn}满足b1=2，bn≠1，且(bn-bn+1)?g(bn)=f(bn)(n∈N*)．（I）求-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），数列{an}是各项均不为0的等差..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上；数列{b_n}满足b₁=2，b_n≠1，且(bn-bn+1)?g(bn)=f(

b

n

)(n∈N*)．
（I）求a_n并证明数列{b_n-1}是等比数列；
（II）若数列{c_n}满足cn=

an

4n-1?(bn-1)

，证明：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上，所以a_n²=S_2n-1，
令n=1，n=2，可得a₁²=S₁，a₂²=S₃，
∴a12=a1，(a1+d)2=3a1+3d
∴a₁=1，d=2（d=-1舍去）
∴a_n=2n-1；
∵(bn-bn+1)?g(bn)=f(

b

n

)(n∈N*)
∴4(bn-bn+1)?(bn-1)=(bn-1)2(n∈N*)
∴

bn+1-1

bn-1

=

3

4

∴数列{b_n-1}是以1为首项，

3

4

为公比的等比数列；
（II）证明：由上知b_n-1=(

3

4

)n-1
∴cn=

an

4n-1?(bn-1)

=

2n-1

3n-1

令T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
则T_n=

1

30

+

3

31

+…+

2n-1

3n-1

①
∴

1

3

T_n=

1

31

+

3

32

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

②
①-②得

2

3

T_n=

1

30

+

2

31

+

2

32

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

2-

2(n+1)

3n

∴T_n=3-

n+1

3n-1

＜3
即c₁+c₂+c₃+…+c_n＜3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），数列{an}是各项均不为0的等差..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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