已知函数f(x)=ax+b1+x2(x≥0)，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，又g（1）=0，f（3）=2-3（1）求f（x）的表达式及值域；（2）问是否存在实数m，使得命题p：f（m2-m）＜f（3m-4）和q：g(-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax+b1+x2(x≥0)，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-24 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，又g（1）=0，f（

3

）=2-

3

（1）求f（x）的表达式及值域；
（2）问是否存在实数m，使得命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：g(

m-1

4

)＞

3

4

满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：真命题、假命题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，g（1）=0，则f（0）=1即b=1，
又由f（

3

）=2-

3

，得

3

a+2=2-

3

，可得a=-1，故f（x）的表达式为f（x）=

1+x2

-x（x≥0）
f（x）=

1+x2

-x=

1

1+x2

+x

在定义域[0，+∞）上单调递减，f（0）=1，又因为f（x）＞0，所以f（x）的值域为（0，1]
（2）复合命题p且q为真命题即要求p，q均为真命题．
命题p：∵f（x）在定义域[0，+∞）上单调递减，
故命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）为真命题?m²-m＞3m-4≥0?m≥

4

3

且m≠2；
命题q：g（

m-1

4

）＞

1

4

，因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，所以两个函数互为反函数，具有相同的单调性，所以f（

1

4

）=

1+(

1

4

)2

-

1

4

=

2

17

-1

4

，所以

m-1

4

＜

2

17

-1

4

，即m＜2

17

．
p，q均为真命题时m的范围是[

4

3

，2)∪(2，2

17

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax+b1+x2(x≥0)，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=..”的主要目的是检查您对于考点“高中真命题、假命题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中真命题、假命题”。

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