如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=3，D为棱CC1的中点．（I）证明：A1C⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求三棱锥A-A1B1O的体积；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

3

，D为棱CC₁的中点．
（I）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求三棱锥A-A₁B₁O的体积；
（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面平行的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（ I）∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴BC⊥CC₁
∵AC∩CC₁=C，AC，CC₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁
∵A₁C?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥A₁C
∵BC∥B₁C₁，则B₁C₁⊥A₁C
∵Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴AC=

3

∵AA1=

3

，
∴四边形ACC₁A₁为正方形
∴A₁C⊥AC₁
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，B₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁
∴A₁C⊥平面AB₁C₁…（4分）
解（ II）∵S△AOA1=

1

4

×(

3

)2=

3

4

又B₁C₁为三棱锥B₁-A₁AO的高且B₁C₁=1
∴VA-A1B1O=VB1-A1AO=

1

3

×

3

4

×1=

1

4

…(8分)
证明：（ III）当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB₁C₁
证明如下：
如图取BB₁的中点F，连EF，FD，DE
∵D，E，F分别为CC₁，AB，BB₁的中点；
∴EF∥AB₁
∵AB₁?平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁
∴EF∥平面AB₁C₁
同理可证FD∥平面AB₁C₁
∵EF∩FD=F
∴平面EFD∥平面AB₁C₁
∵DE?平面EFD
∴DE∥AB₁C₁…．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面平行的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面平行的判定与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：