如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=12AD．（1）求证：平面PAC⊥面PCD；（2）在棱PD上找一点E，使CE∥面PAB-数学试题及答案

1、试题题目：如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为45°..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

1

2

AD．
（1）求证：平面PAC⊥面PCD；
（2）在棱PD上找一点E，使CE∥面PAB，并说明理由；
（3）在（2）的前提下，求二面角E-AC-D的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面平行的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：

（1）设PA=1，由题意PA=BC=1，AD=2．
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，而∠PBA=45°，∴AB=1，
又∠ABC=∠BAD=90°，得CD=AC=

2

．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．
又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，
又CD?面PCD，∴面PAC⊥面PCD．
（2）取E为PD的中点，作EF⊥AD于F，则F为AD的中点，且EF∥PA，
∴EF∥平面PAB，
由F为AD的中点以及PA=BC=

1

2

AD可得AF=BC，AF∥BC
所以；ABCF为平行四边形；
∴CF∥AB；
CF∥平面PAB，
得到平面EFC∥平面PAB，
∴CE∥面PAB
（3）由第二问知，EF⊥平面ABCD；
过F作FG垂直AC于G，
由三垂线定理得∠EGF即为二面角E-AC-D的平面角．
由第一问得到的AC⊥CD
可得FG∥CD，FG=

1

2

CD，
在RT△EFG中，EF=

1

2

PA=

1

2

，FG=

1

2

CD=

2

．
∴tan∠EGF=

EF

FG

=

2

．
∴二面角E-AC-D的大小为：arctan

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为45°..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面平行的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面平行的判定与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：