如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（I）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B-A1C1-D的大小-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（I）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D为AC的中点．
（I）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若AC₁⊥平面A₁BD，求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B-A₁C₁-D的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面平行的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：连结AB₁交A₁B于E，连ED．
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱中，且AB=BB₁，
∴侧面ABB₁A是一正方形．
∴E是AB₁的中点，又已知D为AC的中点．
∴在△AB₁C中，ED是中位线．
∴B₁C∥ED．∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（II）证明：∵AC₁⊥平面ABD，∴AC₁⊥A₁B，
又∵侧面ABB₁A是一正方形，∴A₁B⊥AB₁．
∴A₁B⊥平面AB₁C₁．∴A₁B⊥B₁C₁．
又∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴BB₁⊥B₁C₁．
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．…（8分）
（III）由上问知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．∴BC⊥平面ABB₁A₁．∴BC⊥AB．
以BA、BC、BB₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
不妨设AB=BC=BB₁=1，则显然B、D、A₁、C₁各点的坐标分别是
B（0，0，0），D（

1

2

，

1

2

，0），A₁（1，0，1），C₁（0，1，1）．

∴

BA1

=(1，0，1)，

BC1

=(0，1，1)，

BD

=(

1

2

，

1

2

，0).

显然，

BD

就是平面A1C1D的法向量.

设平面BA1C1的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n

?

BA1

=0，

n

?

BC1

=0.

∴(x，y，z)?(1，0，1)=0，(x，y，z)?(0，1，1)=0.

∴x=y=-z．令x=1，则

n

=(1，1，-1).

设

n

与

BD

所成的角为θ，则cosθ=

n

?

BD

|

n

||

BD

|

=…=

6

3

.

由图形可知二面角B-A₁C₁-D的平面角为锐角，
∴二面角B-A₁C₁-D的大小为arccos

6

3

．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（I）..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面平行的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面平行的判定与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：