如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA，E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PC的中点．（Ⅰ）求证：BF∥平面AEC；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=2AB=2PA，E为PD的上一点，且PE=2ED，F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值．

试题来源：河南模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面平行的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
设B（1，0，0），则D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0）E(0，

4

3

，

1

3

)，F(

1

2

，1，

1

2

)（2分）
（Ⅰ）设平面AEC的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

AE

=(0，

4

3

，

1

3

)，

AC

=(1，2，0)，
∴由

n

?

AE

=0

n

?

AC

=0

，
得

4

3

y+

1

3

z=0

x+2y=0

，
令y=-1，得

n

=(2，-1，4)（4分）
又

BF

=(-

1

2

，1，

1

2

)，
∴

BF

?

n

=2×(-

1

2

)+(-1)×1+4×

1

2

=0，（5分）

BF

⊥

n

，BF?平面AEC，
∴BF∥平面AEC．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一个法向量为

n

=(2，-1，4)，
又

AP

=(0，0，1)为平面ACD的法向量，（8分）
而cos＜

n

，

AP

＞=

n

?

AP

|

n

||

AP

|

=

4

21

，（11分）
故二面角E-AC-D的余弦值为

4

21

（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AD=..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面平行的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面平行的判定与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：