如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2，AD=3，E为CD中点，三棱锥A1-AB1E的体积是6．（1）设P是棱BB1的中点，证明：CP∥平面AEB1；（2）求AB的长；（3）求二面角B-AB1-E的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2，AD=3，E为CD中点，三棱..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图，在长方体ABCD一A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AD=3，E为CD中点，三棱锥A₁-AB₁E的体积是6．
（1）设P是棱BB₁的中点，证明：CP∥平面AEB₁；
（2）求AB的长；
（3）求二面角B-AB₁-E的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面平行的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：取AB₁的中点M，连结PM，ME．
则PM∥BA∥CE，PM=

1

2

AB=CE．
即四边形PCEM是平行四边形，所以PC∥EM．
又EM?平面AEB₁，PC?平面AEB₁．
∴CP∥平面AEB₁；
（2）由题意VA1-AB1E=VE-AB1A1．
点E到平面AB₁A₁的距离是AD=3，S△AB1A1=

1

2

?AB?AA1=

1

2

AB?2=AB．
所以

1

3

?3?AB=6，即AB=6；

魔方格

（3）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），B₁（6，0，2），E（3，3，0），

AB1

=(6，0，2)，

AE

=(3，3，0)．
设平面AB₁E的法向量为

n

=(x，y，z)．
由

n

?

AB1

=0

n

?

AE

=0

，得

6x+2z=0

3x+3y=0

，取x=1，得y=-1，z=-3．
所以

n

=(1，-1，-3)．
由平面ABB₁的一个法向量为

m

=(0，1，0)．
并设二面角B-AB₁-E的大小为α，
则cosα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

-1

12+(-1)2+32

?1

|=

11

．
所以二面角B-AB₁-E的余弦值为

11

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2，AD=3，E为CD中点，三棱..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面平行的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面平行的判定与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：