如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，N是A1D的中点，M∈BB1，异面直线MN与A1A所成的角为90°．（1）求证：点M是BB1的中点；（2）求直线MN与平面ADD1A1所成角的大小；（3）求-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，N是A1D的中点，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-21 07:30:00

试题原文

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，N是A₁D的中点，M∈BB₁，异面直线MN与A₁A所成的角为90°．
（1）求证：点M是BB₁的中点；
（2）求直线MN与平面ADD₁A₁所成角的大小；
（3）求二面角A-MN-A₁的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：取AA₁的中点P，连接PM，PN．
∵N是A₁D的中点，∴AA₁⊥PN，又∵AA₁⊥MN，MN∩PN=N，
∴AA₁⊥面PMN．
∵PM?面PMN，∴AA₁⊥PM，∴PM∥AB，
∴点M是BB₁的中点．
（2）由（1）知∠PNM即为MN与平面ADD₁A₁所成的角．
在Rt△PMN中，易知PM=1，PN=

1

2

，
∴tan∠PNM=

PM

PN

=2，∠PNM=arctan2．
故MN与平面ADD₁A₁所成的角为arctan2．
（3）∵N是A₁D的中点，M是BB₁的中点，∴A₁N=AN，A₁M=AM，
又MN为公共边，∴△A₁MN≌△AMN．
在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，连接A₁G，则∠A₁GA即为二面角A-MN-A₁的平面角．
在△A₁GA中，AA₁=2，A₁G=GA=

30

5

，
∴cos∠A₁GA=

A1G2+GA2-

AA

21

2A1G?GA

=-

2

3

，∴∠A₁GA=arccos（-

2

3

），
故二面角A-MN-A₁的大小为arccos（-

2

3

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，N是A1D的中点，..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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