函数f（x）=cx+d1+x2是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（1）=12（1）求实数c和d，并确定函数f（x）的解析式；（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=cx+d1+x2是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（1）=12（1）求实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

函数f（x）=

cx+d

1+x2

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（1）=

1

2

（1）求实数c和d，并确定函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）=

cx+d

1+x2

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
可得f（0）=0，解得d=0．
再由f（1）=

c

2

=

1

2

，可得 c=1．
故函数的解析式为 f（x）=

x

1+x2

．
（2）由函数的解析式可得函数在（-1，1）上是增函数．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，则 f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

x1-x2+x1?x2(x2-x1)

(1+x12)(1+x22)

=

( x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

．
由题设可得 x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴

( x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），故函数在（-1，1）上是增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=cx+d1+x2是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f（1）=12（1）求实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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