设函数f(x)=x+ax+1，x∈[0，+∞)．（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；（2）当0＜a＜1时，试判断函数f（x）的单调性，并证明．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=x+ax+1，x∈[0，+∞)．（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=x+

a

x+1

， x∈[0，+∞)．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当0＜a＜1时，试判断函数f（x）的单调性，并证明．

试题来源：徐汇区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=2时，f(x)=x+

2

x+1

=x+1+

2

x+1

-1．（2分）
≥2

2

-1．（4分）
当且仅当x+1=

2

x+1

，即x=

2

-1时取等号，
∴f(x)min=2

2

-1．（6分）
（2）当0＜a＜1时，任取0≤x₁＜x₂f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[1-

a

(x1+1)(x2+1)

]．（8分）
∵0＜a＜1，（x₁+1）（x₂+1）＞1，
∴1-

a

(x1+1)(x2+1)

＞0．（10分）
∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[0，+∞）上为增函数．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=x+ax+1，x∈[0，+∞)．（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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