已知函数f（x）=log2（2x+1）（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；（2）记f-1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=log2（2x+1）（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）
（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
（2）记f^-1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=log₂（2^x₁+1）-log₂（2^x₂+1）=log2

2x1+1

2x2+1

，
∵x₁＜x₂，∴0＜2^x₁+1＜2^x₂+1，
∴0＜

2x1+1

2x2+1

＜1，log2

2x1+1

2x2+1

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增

（2）∵f^-1（x）=log₂（2^x-1）（x＞0），
∴m=f^-1（x）-f（x）=log₂（2^x-1）-log₂（2^x+1）=log2

2x-1

2x+1

=log2(1-

2

2x+1

)
当1≤x≤2时，

2

5

≤

2

2x+1

≤

2

3

，
∴

1

3

≤1-

2

2x+1

≤

3

5

∴m的取值范围是[log2(

1

3

)，log2(

3

5

)]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=log2（2x+1）（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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