已知函数f(x)=x13-x-135，g(x)=x13+x-135；（Ⅰ）证明f（x）是奇函数；（Ⅱ）证明f（x）在（-∞，-1）上单调递增；（Ⅲ）分别计算f（4）-5f（2）?g（2）和f（9）-5f（3）?g（3）的值，由此概括出涉及函数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x13-x-135，g(x)=x13+x-135；（Ⅰ）证明f（x）是奇函数；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x

1

3

-x-

1

3

5

，g(x)=

x

1

3

+x-

1

3

5

；
（Ⅰ）证明f（x）是奇函数；
（Ⅱ）证明f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
（Ⅲ）分别计算f（4）-5f（2）?g（2）和f（9）-5f（3）?g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），是关于原点对称的；
又f(-x)=

(-x)

1

3

-(-x)-

1

3

5

=

-x

1

3

+x-

1

3

5

=-f(x)
∴f（x）是奇函数．（4分）
（Ⅱ）设x₁＜x₂＜-1，则：f(x1)-f(x2)═

1

5

(x1

1

3

-x2

1

3

)(1+

1

x1

1

3

?x2

1

3

)，
∵x

1

3

-x2

1

3

＜0，

1

x1x2

＞0，(

1

x1x2

)

1

3

＞01+

1

x1

1

3

?x2

1

3

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．即f（x₁）＜f（x₂）且x₁＜x₂
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增．（8分）
（Ⅲ）算得：f（4）-5f（2）?g（2）=0；f（9）-5f（3）?g（3）=0；
由此概括出对所有不等于零的实数x都成立的等式是：f（x²）-5f（x）?g（x）=0（12分）
下面给予证明：∵f（x²）-5f（x）?g（x）=

x

2

3

-x-

2

3

5

-5?

x

1

3

-x-

1

3

5

?

x

1

3

+x-

1

3

5

=

1

5

(x

2

3

-x-

2

3

)-

1

5

(x

2

3

-x-

2

3

)=0
∴f（x²）-5f（x）?g（x）=0对所有不等于零的实数x都成立．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x13-x-135，g(x)=x13+x-135；（Ⅰ）证明f（x）是奇函数；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：