已知a为实数，f(x)=a-22x+1(x∈R)．（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（2）当f（x）是奇函数时，若方程f-1（x）=log2（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a为实数，f(x)=a-22x+1(x∈R)．（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知a为实数，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f（x）是奇函数时，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．

试题来源：宝山区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设x₁＞x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-

2

2x1+1

+

2

2x2+1

∴x₁＞x₂，
∴2x1＞2x2
∴

2

2x1+1

＜

2

2x2+1

∴f（x₁）-f（x₂）=-

2

2x1+1

+

2

2x2+1

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在定义域上为增函数．
（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以f(0)=a-

2

20+1

=0，
即a=1．f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)
由log2

1+x

1-x

=log2(x+t)得t=(1-x)+

2

1-x

-2≥2

2

-2
当且仅当1-x=

2

1-x

，即x=1-

2

时等号成立，
所以，t的取值范围是[2

2

-2，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a为实数，f(x)=a-22x+1(x∈R)．（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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