已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）x＞1时，f（x）＜0；（2）f（12）=1；（3）对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集．-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）x＞1时，f（x）＜0；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）x＞1时，f（x）＜0；（2）f（

1

2

）=1；（3）对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

需先研究y=f（x）的单调性，任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂，则

x1

x2

＞1．
f（x₁）=f（

x1

x2

?x₂）=f（

x1

x2

）+f（x₂），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＜0．
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
又f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0．
又∵f（1）=f（2）+f（

1

2

）=f（2）+1=0．
∴f（2）=-1．∴f（4）=2f（2）=-2．
∴原不等式等价于

x＞0

5-x＞0

x(5-x)≤4.

解得{x|0＜x≤1或4≤x＜5}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）x＞1时，f（x）＜0；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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