已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若0≤x1≤1，0≤x2≤1，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．（1）试求f（0）的值；（2）试求函数f-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，则有f （x₁+x₂）≥f （x₁）+f （x₂）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f（x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]，n∈N₊时，f（x）＜2x．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x₁=x₂=0，依条件（3）可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0
又由条件（1）得f（0）≥0故f（0）=0（3分）
（2）任取0≤x₁＜x₂≤1可知x₂-x₁∈（0，1]，则
f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1因此当x=1时，f（x）取最大值1．（8分）
（3）证明：先用数学归纳法证明：当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）时，f（x）≤

1

2n-1

1⁰当n=1时，x∈(

1

2

，1]，f（x）≤f（1）=1=

1

20

，不等式成立．
当n=2时，x∈(

1

4

，

1

2

]，

1

2

＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）
∴f（x）≤

1

2

f（2x）≤

1

2

不等式成立．
2⁰假设当n=k（k∈N₊，k≥2）时，不等式成立，即x∈(

1

2k

，

1

2k-1

]时，f（x）≤

1

2k-1

则当n=k+1时，x∈(

1

2k+1

，

1

2k

]，记t=2x，则t=2x∈(

1

2k

，

1

2k-1

]，∴f（t）≤

1

2k-1

而f（t）=f（2x）≥2f（x），∴f（x）≤

1

2

f（2x）=

1

2

f（t）≤

1

2(k+1)-1

因此当n=k+1时不等式也成立．
由1⁰，2⁰知，当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）时，f（x）≤

1

2n-1

又当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）时，2x＞

1

2n-1

，此时f（x）＜2x．
综上所述：当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）时，有f（x）＜2x．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，1]，总..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：