已知函数f（x）=(logax)2-logax-2（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a=2时，求f（2）；（Ⅱ）求解关于x的不等式f（1+x1-x）＞0；（Ⅲ）若函数f（x）在[2，4]的最小值为4，求实数a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=(logax)2-logax-2（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=(logax)2-log_ax-2（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（2）；
（Ⅱ）求解关于x的不等式f（

1+x

1-x

）＞0；
（Ⅲ）若函数f（x）在[2，4]的最小值为4，求实数a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=2时，f（2）=(log22)2-log₂2-2=1-1-2=-2 …．（2分）
（Ⅱ）令t=

1+x

1-x

，t∈（0，+∞）
f（

1+x

1-x

）＞0等价于（log_at-2）（log_at+1）＞0
∴log_at＞2或log_at＜-1，
当a＞1时，t＞a²或t＜

1

a

∴

1+x

1-x

＞a2或

1+x

1-x

＜

1

a

∴

a2-1

a2+1

＜x＜1或-1＜x＜

1-a

1+a

；
当0＜a＜1时，t＜a²或t＞

1

a

∴

1+x

1-x

＜a2或

1+x

1-x

＞

1

a

∴-1＜x＜

a2-1

a2+1

或

1-a

1+a

＜x＜1 …．（7分）
（Ⅲ）令log_ax=v，y=f（v）=v²-v-2，对称轴为v=

1

2

．
当a＞1时，v∈[log_a2，log_a4]
①当1＜a≤4，即

1

2

≤loga2时，f（v）在[log_a2，log_a4]上单调递增，
∴f_min（v）=f（log_a2）=(loga2)2-loga2-2=4
∴log_a2=3或log_a2=-2（不合题意）
∴a=

3	2

②当4＜a＜16，即loga2＜

1

2

＜loga4时，fmin(v)=f(

1

2

)≠4；
③当a≥16，即

1

2

≥loga4时，f_min（v）=f（log_a4）=(loga4)2-loga4-2=4
∴log_a4=3或log_a4=-2（不合题意）
当0＜a＜1时，v∈[log_a4，log_a2]，显然

1

2

≥loga2，
∴f_min（v）=f（log_a2）=(loga2)2-loga2-2=4
∴log_a2=-2或log_a2=3（不合题意）
∴a=

2

综上：a=

3	2

或a=

2

…．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=(logax)2-logax-2（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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