若函数f（x）=|ex+aex|在x∈[-12，1]上增函数，则实数a的取值范围是_____

1、试题题目：若函数f（x）=|ex+aex|在x∈[-12，1]上增函数，则实数a的取值范围是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

若函数f（x）=|ex+

a

ex

|在x∈[-

1

2

，1]上增函数，则实数a的取值范围是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a＜0时，ex+

a

ex

单调递增，
①若x∈[-

1

2

，1]时，ex+

a

ex

≤0，则f（x）=-（ex+

a

ex

）单调递减，与函数f（x）=|ex+

a

ex

|在x∈[-

1

2

，1]上是增函数不符；
②若x∈[-

1

2

，1]时，ex+

a

ex

有零点x₀，x0∈(-

1

2

，1)，则-

1

2

＜x＜x₀时，ex+

a

ex

＜0，f（x）=-（ex+

a

ex

）单调递减，也与题意不符，
故必有ex+

a

ex

≥0在x∈[-

1

2

，1]上恒成立，即a≥-e^2x恒成立，
又x∈[-

1

2

，1]时，-e^2x≤-e2(-

1

2

)=-

1

e

，∴-

1

e

≤a＜0．
（2）当a≥0时，f（x）=ex+

a

ex

，f′（x）=ex-

a

ex

，
∵f（x）在x∈[-

1

2

，1]上是增函数，∴f′（x）=ex-

a

ex

≥0在x∈[-

1

2

，1]上恒成立，
即a≤e^2x，又e^2x≥e2(-

1

2

)=

1

e

，所以0＜a≤

1

e

，综上，实数a的取值范围为[-

1

e

，

1

e

]．
故答案为：[-

1

e

，

1

e

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若函数f（x）=|ex+aex|在x∈[-12，1]上增函数，则实数a的取值范围是..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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