已知函数f（x）的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＞0；（1）求f（1）与f（-1）的值；（2）判断函数的奇偶性并证明；（3）求证：-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x₁，x₂∈D，均有f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0；
（1）求f（1）与f（-1）的值；
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（4）若f（4）=1，解不等式f（3x+1）≤2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x₁=x₂=1，代入f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）可得f（1）=0；
令x₁=x₂=-1，则有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）-f（1）=0，解得：f（-1）=0．
（2）令x₁=x，x₂=-1，则有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即f（-x）=f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
（3）设x₁，x₂∈（0，+∞），并且x₁＜x₂，则有

x2

x1

＞1，f（

x2

x1

）＞0，
所以f（x₂）=f(

x2

x1

?x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＞f(x1)，
所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（4）由题意可得：f（16）=f（4×4）=2f（4）=2，
所以由f（3x+1）≤2可得：f（3x+1）≤f（16），
因为函数f（x）为偶函数，
所以有f（-x）=f（x）=f（|x|），即f（|3x+1|）≤f（16），
又因为函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以|3x+1|≤16，并且3x+1≠0，
解得：[-

17

3

，-

1

3

)∪(-

1

3

，5]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：