发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-11-28 07:30:00
试题原文 |
|
(1)∵关于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集为(m,m+1), 即不等式x2+(a+1-2m)x+m2+m<0的解集为(m,m+1), ∴x2+(a+1-2m)x+m2+m=(x-m)(x-m-1). ∴x2+(a+1-2m)x+m2+m=x2-(2m+1)x+m(m+1). ∴a+1-2m=-(2m+1). ∴a=-2.…(2分) (2)解法1:由(1)得g(x)=
∴φ(x)=g(x)-kln(x-1)=(x-1)+
∴φ'(x)=1-
方程x2-(2+k)x+k-m+1=0(*)的判别式△=(2+k)2-4(k-m+1)=k2+4m.…(4分) ①当m>0时,△>0,方程(*)的两个实根为x1=
则x∈(1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0. ∴函数φ(x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. ∴函数φ(x)有极小值点x2.…(6分) ②当m<0时,由△>0,得k<-2
若k<-2
故x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0,(苏元高考吧:www.gaokao8.net) ∴函数φ(x)在(1,+∞)上单调递增. ∴函数φ(x)没有极值点.…(7分) 若k>2
则x∈(1,x1)时,φ'(x)>0;x∈(x1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0. ∴函数φ(x)在(1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. ∴函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(8分) 综上所述,当m>0时,k取任意实数,函数φ(x)有极小值点x2; 当m<0时,k>2
(其中x1=
解法2:由(1)得g(x)=
∴φ(x)=g(x)-kln(x-1)=(x-1)+
∴φ'(x)=1-
若函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点等价于函数φ'(x)有两个不等的零点,且 至少有一个零点在(1,+∞)上.…(4分) 令φ'(x)=
得x2-(2+k)x+k-m+1=0,(*) 则△=(2+k)2-4(k-m+1)=k2+4m>0,(**) …(5分) 方程(*)的两个实根为x1=
设h(x)=x2-(2+k)x+k-m+1, ①若x1<1,x2>1,则h(1)=-m<0,得m>0,此时,k取任意实数,(**)成立. 则x∈(1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0. ∴函数φ(x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. ∴函数φ(x)有极小值点x2.…(6分) ②若x1>1,x2>1,则
又由(**)解得k>2
故k>2
则x∈(1,x1)时,φ'(x)>0;x∈(x1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0. ∴函数φ(x)在(1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. ∴函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(8分) 综上所述,当m>0时,k取任何实数,函数φ(x)有极小值点x2; 当m<0时,k>2
(其中x1=
(3)证法1:∵m=1,∴g(x)=(x-1)+
∴[g(x+1)]n-g(xn+1)=(x+
=
令T=
则T=
∵x>0, ∴2T=
=2(
∴T≥2n-2,即[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2.…(14分) 证法2:下面用数学归纳法证明不等式(x+
①当n=1时,左边=(x+
…(10分) ②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即(x+
则 (x+
也就是说,当n=k+1时,不等式也成立. 由①②可得,对?n∈N*,[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2都成立.…(14分) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知二次函数f(x)=x2+ax+m+1,关于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性、最值”。