在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=1aBC(a＞0)．（Ⅰ）当a=1时，求证：BD⊥PC；（Ⅱ）若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A-PD-Q的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=

1

a

BC(a＞0)．
（Ⅰ）当a=1时，求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A-PD-Q的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）∵PA垂直矩形底面ABCD，
∴PA垂直BD，
∵AB=PA=

1

a

BC(a＞0)，
a=1，
∴AB=PA=BC，
∴底面ABCD为正方形，
∴BD垂直于AC，
∴BD垂直于△PAC，
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）∵AB，AD，AP两两垂直，分别以它们所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立坐标系

魔方格

令AB=1，则BC=a，
B（1，0，0），D（0，a，0），C（1，a，0），P（0，0，1），
设BQ=m，Q（1，m，0），（0≤m≤a），
要使PQ⊥QD，只要

PQ

?

QD

=-1+m(a-m)=0，
即m²-am+1=0，
由△=a²-4=0，得a=2，此时m=1．
∴BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD时，
Q为BC的中点，且a=2，
设面PQD的法向量

p

=(x，y，1)，
则

p

?

QD

=0

p

?

DP

=0

，即

-x+y=0

-2y+1=0

，
∴

p

=(

1

2

，

1

2

，1)，
取面PAD的法向量

q

=(1，0，0)，
则＜

p

，

q

＞的大小与三面角A-PD-Q的大小相等，
∵cos＜

p

，

q

＞=

p

?

q

|

p

||

q

|

=

6

，
∴二面角A-PD-Q的余弦值为

6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：