如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形，且面PDC⊥面ABCD，E为PC中点．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面PBC；（3）求二面角D-PB-C的正切值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形，且面PDC⊥面ABCD，E为PC中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面PBC；
（3）求二面角D-PB-C的正切值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：连结AC交BD于O，连接OE，则O是AC的中点又E为PC的中点，∴PA∥OE．
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）证明：∵正三角形PDC中，点E是PC的中点
∴DE⊥PC
∵正方形ABCD中，BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD
∴BC⊥平面PDC
∴BC⊥DE
∵PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC
∵DE?平面EDB
∴平面EDB⊥平面PBC；
（3）过E作EH⊥PB，垂足为H，连接DH，则DH⊥PB
∴∠DHE为二面角D-PB-C的平面角
设正方形ABCD和正△PDC的边长为2，则在Rt△DEH中，DE=

3

∵EH=

1

2

S△PBC

1

2

PB

=

1

2

PC?BC

PC2+BC2

=

2

∴tan∠DHE=

DE

EH

=

3

2

=

6

∴二面角D-PB-C的正切值是

6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PDC为正三角形..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：