如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A-EF-D的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点
（1）求证：EF∥平面SAD
魔方格

（2）设SD=2CD，求二面角A-EF-D的大小．
魔方格

试题来源：深圳模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

法一：
（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．
连接AG，FG

∥

.

1

2

CD，又CD

∥

.

AB，
故FG

∥

.

AE，AEFG为平行四边形．EF∥AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD．
所以EF∥平面SAD．
（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等
腰直角三角形．
取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．
又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，
魔方格

所以DH⊥面AEF．
取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．
连接DM，则DM⊥EF．
故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角tan∠DMH=

DH

HM

=

2

1

=

2

．
所以二面角A-EF-D的大小为arctan

2

．

法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D-xyz．

魔方格

设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），E(a，

a

2

，0)，F(0，

a

2

，

b

2

)，

EF

=(-a，0，

b

2

)．
取SD的中点G(0，0，

b

2

)，则

AG

=(-a，0，

b

2

)．

EF

=

AG

，EF∥AG，AG?平面SAD，EF?平面SAD，
所以EF∥平面SAD．
（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E(1，

1

2

，0)，F(0，

1

2

，1)．EF中点M(

1

2

，

1

2

，

1

2

)，

MD

=(-

1

2

，-

1

2

，-

1

2

)，

EF

=(-1，0，1)，

MD

?

EF

=0，MD⊥EF
又

EA

=(0，-

1

2

，0)，

EA

?

EF

=0，EA⊥EF，
所以向量

MD

和

EA

的夹角等于二面角A-EF-D的平面角．cos＜

MD

，

EA

＞=

MD

?

EA

|

MD

|?|

EA

|

=

3

．

所以二面角A-EF-D的大小为arccos

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：