已知直线l：y=x+k经过椭圆C：x2a2+y2a2-1=1，(a＞1)的右焦点F2，且与椭圆C交于A、B两点，若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1，试求椭圆C的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：y=x+k经过椭圆C：x2a2+y2a2-1=1，(a＞1)的右..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知直线l：y=x+k经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，(a＞1)的右焦点F₂，且与椭圆C交于A、B两点，若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F₁，试求椭圆C的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设椭圆焦距为2c，则c=

a2-(a2-1)

=1…（1分）
∴F₂（1，0），代入y=x+k 得k=-1
将y=x-1代入椭圆方程整理得：（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0…（4分）
∵A、B点在直线l上，设A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1）
∵AF₁⊥BF₁ 又F₁（-1，0）
∴

x1-1

x1+1

?

x2-1

x2+1

=-1，即x1x2=-1…（8分）
由韦达定理，

2a2-a4

2a2-1

=-1
解得a2=2+

3

或a2=2-

3

(∵a＞1舍)…（10分）
∴a2-1=2+

3

-1=1+

3

∴

x2

2+

3

+

y2

1+

3

=1为所求方程．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：y=x+k经过椭圆C：x2a2+y2a2-1=1，(a＞1)的右..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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