已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2，右焦点为F，直线l：x=2与x轴相交于点E，FE=OF，过点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C和点D在l上，且AD∥BC∥x轴．（Ⅰ）求椭圆的方程及-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2，右焦点为F，直线l：x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2，右焦点为F，直线l：x=2与x轴相交于点E，

FE

=

OF

，过点F的直线与椭圆相交于A，B两点，点C和点D在l上，且AD∥BC∥x轴．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）求证：直线AC经过线段EF的中点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由2b=2得b=1．
又

FE

=

OF

，∴

a2-c2=1

c=

a2

c

-c.

解得 a=

2

，c=1．
∴椭圆方程为：

x2

2

+y2=1．
离心率 e=

c

a

=

2

．
（II）∵点F（1，0），E（2，0），∴EF中点N的坐标为 (

3

2

，0)．
①当AB⊥x轴时，A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
那么此时AC的中点为 (

3

2

，0)，即AC经过线段EF的中点N．
2当AB不垂直x轴时，则直线AB斜率存在，
设直线AB的方程为y=k（x-1），
由（*）式得 x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．
又∵x₁²=2-2y₁²＜2，得 x1-

3

2

≠0，
故直线AN，CN的斜率分别为 k1=

y1

x1-

3

2

=

2k(x1-1)

2x1-3

，k2=

y2

2-

3

2

=2k(x2-1)，
∴k1-k2=2k?

(x1-1)-(x2-1)(2x1-3)

2x1-3

．
又∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4，
=

1

1+2k2

[12k2-4(k2-1)-4(1+2k2)]=0．
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂．
且AN，CN有公共点N，∴A，C，N三点共线．
∴直线AC经过线段EF的中点N．
综上所述，直线AC经过线段EF的中点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2，右焦点为F，直线l：x..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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