已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，F1，F2为椭圆G的两个焦点，点P在椭圆G上，且△PF1F2的周长为4+42．（Ⅰ）求椭圆G的方程（Ⅱ）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若OA⊥OB（O为-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，F1，F2为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

，F₁，F₂为椭圆G的两个焦点，点P在椭圆G上，且△PF₁F₂的周长为4+4

2

．
（Ⅰ）求椭圆G的方程
（Ⅱ）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若

OA

⊥

OB

（O为坐标原点），求证：直线l与圆x2+y2=

8

3

相切．

试题来源：顺义区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知得，

c

a

=

2

且2a+2c=4+4

2

，
解得a=2

2

，c=2，
又b²=a²-c²=4，
所以椭圆G的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）证明：由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞y₂），
（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且-2

2

＜m＜2

2

，
则x₁=m，y1=

4-

m2

2

，x₂=m，y2=-

4-

m2

2

，
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁+y₂=0，
∴m2-(4-

m2

2

)=0，解得m=±

2

6

3

，
故直线l的方程为x=±

2

6

3

，
因此，点O（0，0）到直线l的距离为d=

2

6

3

，
又圆x2+y2=

8

3

的圆心为O（0，0），半径r=

2

6

3

=d，
所以直线l与圆x2+y2=

8

3

相切；
（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，
由

y=kx+m

x2

8

+

y2

4

=1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

m2-8k2

1+2k2

，
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
故

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，即3m²-8k²-8=0，3m²=8k²+8，①
又圆x2+y2=

8

3

的圆心为O（0，0），半径r=

2

6

3

，
圆心O到直线l的距离为d=

|m|

1+k2

，
∴d2=(

|m|

1+k2

)2=

m2

1+k2

=

3m2

3(1+k2)

②，
将①式带入②式得
d2=

8k2+8

3(1+k2)

=

8

3

，
所以d=

2

6

3

=r，
因此，直线l与圆x2+y2=

8

3

相切．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，F1，F2为..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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