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1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|?|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

  试题来源：东莞一模   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：椭圆的标准方程及图象



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）由题意：
c=1
e=
c
a
=
1
2
a2=b2+c2
，解得：a=2，b=
3

所以椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）由（1）可知A1(0，
3
)，A2(0，-
3
)，设Q（x0，y0），
直线QA1：y-
3
=
y0-
3
x0
x，令y=0，得xS=
-
3
x0
y0-
3
；     
直线QA2：y+
3
=
y0+
3
x0
x，令y=0，得xT=
3
x0
y0+
3
；
则|OS|?|OT|=|
-
3
x0
y0-
3
?
3
x0
y0+
3
|=|
3
x20
y20
-3
|，
而
x20
4
+
y20
3
=1，所以3
x20
=4(3-
y20
)，
所以|OM|?|ON|=|
3
x20
y20
-3
|=4；
（3）假设存在点M（m，n）满足题意，则
m2
4
+
n2
3
=1，即m2=4-
4
3
n2．
设圆心到直线l的距离为d，则d=
2
m2+n2
，且d＜
4
7
7
．
所以|AB|=2
16
7
-d2
=2
16
7
-
4
m2+n2
．
所以S△OAB=
1
2
?|AB|?d=
4
m2+n2
(
16
7
-
4
m2+n2
)
．
因为d＜
4
7
7
，所以m2+n2＞
7
4
，所以
16
7
-
4
m2+n2
＞0．
所以S△OAB=
4
m2+n2
(
16
7
-
4
m2+n2
)
≤
(
4
m2+n2
+
16
7
-
4
m2+n2
2
)2=
8
7
．
当且仅当
4
m2+n2
=
16
7
-
4
m2+n2
，即m2+n2=
7
2
＞
7
4
时，S△OAB取得最大值
8
7
．
由
m2+n2=
7
2
m2=4-
4
3
n2
，解得
m2=2
n2=
3
2
．
所以
m=
2
n=
6
2
或
m=
2
n=-
6
2
或
m=-
2
n=
6
2
或
m=-
2
n=-
6
2
．
所以存在点M满足题意，点M的坐标为
(
2
，
6
2
)，(
2
，-
6
2
)，(-
2
，
6
2
)或(-
2
，-
6
2
)．
此时△OAB的面积为
8
7
．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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