已知椭圆G经过点P(3，12)，且一个焦点为(-3，0)．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆G经过点P(3，12)，且一个焦点为(-3，0)．过点（m，0）作圆x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆G经过点P(

3

，

1

2

)，且一个焦点为(-

3

，0)．过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵椭圆G经过点P(

3

，

1

2

)，且一个焦点为(-

3

，0)．
∴

3

a2

+

1

4b2

=1，a²-b²=3
∴a²=4，b²=1
∴椭圆G的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）由题意知，|m|≥1
当m=±1时，切线l的方程为x=±1，此时|AB|=

3

；
当|m|＞1时，设l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x₁x₂=

4k2m2-4

1+4k2

∵l与圆x²+y²=1相切，∴

|km|

k2+1

=1，即m²k²=k²+1
∴|AB|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

4

3

|m|

m2+3

=

4

3

|m|+

3

|m|

≤2（当且仅当m=±

3

时取等号）
∴|AB|的最大值为2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆G经过点P(3，12)，且一个焦点为(-3，0)．过点（m，0）作圆x..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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