已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为12，一个焦点是F（0，1）．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）直线l过点F交椭圆于A、B两点，且AF=2FB，求直线l的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为12，一个焦点是F（0，1）．（Ⅰ）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为

1

2

，一个焦点是F（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）直线l过点F交椭圆于A、B两点，且

AF

=2

FB

，求直线l的方程．

试题来源：南充三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
依题意，e=

c

a

=

1

2

，c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，
∴所求椭圆方程为

y2

4

+

x2

3

=1；
（Ⅱ）若直线l的斜率k不存在，则不满足

AF

=2

FB

．
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+1．
因为直线l过椭圆的焦点F（0，1），所以k取任何实数，直线l与椭圆均有两个交点A、B．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程

y=kx+1

y2

4

+

x2

3

=1

消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．
∴x₁+x₂=

-6k

3k2+4

，①x₁?x₂=

-9

3k2+4

，②
由F（0，1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

AF

=(-x1，1-y1)，

FB

=(x2，y2-1)，
∵

AF

=2

FB

，∴（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），得x₁=-2x₂．
将x₁=-2x₂代入①、②，得x2=

6k

3k2+4

，③x22=

9

6k2+8

，④
由③、④得，(

6k

3k2+4

)2=

9

6k2+8

，化简得

36k2

3k2+4

=

9

2

，
解得k2=

4

5

，∴k=±

2

5

∴直线l的方程为：y=±

2

5

x+1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为12，一个焦点是F（0，1）．（Ⅰ）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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