已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=102．求椭圆的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=

10

2

．求椭圆的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1.
依题意知，点P、Q的坐标满足方程组
①②

x2

a2

+

y2

b2

=1

y=x+1.

将②式代入①式，整理得
（a²+b²）x²+2a²x+a²（1-b²）=0，③
设方程③的两个根分别为x₁，x₂，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x₁，x₁+1），Q（x₂，x₂+1）．
由题设OP⊥OQ，|PQ|=

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2

，可得

x1+1

x1

?

x2+1

x2

=-1

(x2-x1)2+[(x2+1)-(x1+1)]2=(

10

2

)2.

整理得
④⑤

(x1+x2)+2x1x2+1=0

4(x1+x2)2-16x1x2-5=0.

解这个方程组，得

x1x2=

1

4

x1+x2=-

3

2

或

x1x2=-

1

4

x1+x2=-

1

2

.

根据根与系数的关系，由③式得
（Ⅰ）

2a2

a2+b2

=

3

2

a2(1-b2)

a2+b2

=

1

4

或（Ⅱ）

2a2

a2+b2

=

1

2

a2(1-b2)

a2+b2

=-

1

4

.

解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得

a2=2

b2=

2

3

或

a2=

2

3

b2=2.

故所求椭圆的方程为

x2

2

+

y2

2

3

=1，或

x2

2

3

+

y2

2

=1.

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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