已知Sn为数列an的前n项和，且2an=Sn+n．（I）若bn=an+1，证明：数列bn是等比数列；（II）求数列Sn的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知Sn为数列an的前n项和，且2an=Sn+n．（I）若bn=an+1，证明：数列b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知S_n为数列a_n的前n项和，且2a_n=S_n+n．
（I）若b_n=a_n+1，证明：数列b_n是等比数列；
（II）求数列S_n的前n项和T_n．

试题来源：宝鸡模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）n=1时，2a₁=S₁+1，
∴a₁=1．
由题意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），
两式相减得2a_n+1-2a_n=a_n+1+1
即a_n+1=2a_n+1．
于是a_n+1+1=2（a_n+1），
即b_n+1=2b_n，
又b₁=a₁+1=2．
所以数列b_n是首项为2，公比为2的等比数列．
（II）由（I）知，b_n=2×2^n-1=2ⁿ，a_n=b_n-1=2ⁿ-1，
由2a_n=S_n+n，得S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴T_n=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-（1+2+3++n）-2n
=

22?(1-2n)

1-2

-

n(n+1)

2

-2n=2n+2-4-

5

2

n-

1

2

n2.

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知Sn为数列an的前n项和，且2an=Sn+n．（I）若bn=an+1，证明：数列b..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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